图中显示圆心为 $O$ 的扇形 $OAB$。角 $AOB = \theta$ 弧度，且 $OP = AP = x$。

(a) 证明弧长 $AB$ 为 $2x\theta\cos\theta$。

(b) 用 $x$ 和 $\theta$ 表示阴影区域 $APB$ 的面积。

三角形 $OPA$ 两腰相等。从 $P$ 向底边 $OA$ 作垂线，得到半径的一半与角 $\theta$ 的关系。

Let $M$ be the midpoint of $OA$. Since $OP=AP=x$, $PM$ is perpendicular to $OA$. Also $\angle POM=\theta$, so $OM=x\cos\theta$. Thus $OA=2x\cos\theta$. The arc length is $OA\cdot\theta=2x\theta\cos\theta$.

也可在三角形 $OPA$ 中以 $\theta$ 为夹角使用余弦定理。

Write $r=OA>0$. Since $\angle AOP=\theta$, the cosine rule gives

Thus $r(r-2x\cos\theta)=0$ and $r=2x\cos\theta$. The arc length is therefore $r\theta=2x\theta\cos\theta$.

阴影等于扇形 $OAB$ 减去三角形 $OAP$。用 (a) 的半径写出这两个面积。

The sector area is $\frac12(2x\cos\theta)^2\theta$. The triangle has adjacent sides $OP=x$ and $OA=2x\cos\theta$ with included angle $\theta$. Hence the shaded area is