图中显示 $y = f(x)$ 的图像，其中函数 $f$ 定义为

(a) 在上图中，画出 $y = f^{-1}(x)$ 的图像。

(b) 求 $f^{-1}(x)$ 的表达式。

(c)

上图显示函数 $g(x) = 3 + 2\sin\frac14 x$ 在 $-2\pi \leq x \leq 2\pi$ 上的部分图像。

在上图中补全 $g(x)$ 的图像，并由此说明函数 $g$ 是否有反函数。

(d) 完整描述一组三个变换，它们可以组合起来把 $0 \leq x \leq \frac12\pi$ 上的 $y = \sin x$ 图像变换为 $y = f(x)$ 的图像，并清楚说明这些变换的应用顺序。

将原曲线关于 $y=x$ 反射。原图的两个端点交换横纵坐标后，给出反函数曲线的起点和终点。

Sketch the reflection of $y=f(x)$ in the line $y=x$. The endpoint $(0,3)$ maps to $(3,0)$, and $(2\pi,5)$ maps to $(5,2\pi)$. The reflected branch increases and becomes steeper as it approaches the upper endpoint.

反解时先分离正弦。原来的角 $x/4$ 位于反正弦的主值区间内。

From $y=3+2\sin(x/4)$, we obtain $\sin(x/4)=(y-3)/2$. Since $0\le x/4\le\pi/2$,

把图像向左延伸到 $-2\pi$。减去中线高度 $3$ 后，剩下的是奇函数，因此左右两段关于 $(0,3)$ 中心对称。

The missing portion runs from $(-2\pi,1)$ to $(0,3)$, joining the given portion smoothly. Since $x/4$ ranges from $-\pi/2$ to $\pi/2$, the sine function is strictly increasing throughout this interval. Thus $g$ is one-to-one and has an inverse.

横向伸缩把定义域的长度变成四倍，纵向伸缩把振幅变成两倍。最后把中线抬高 $3$。

Start with $y=\sin x$ on $[0,\pi/2]$. Apply these transformations in order:

1. Stretch by scale factor $4$ in the $x$-direction, giving $y=\sin(x/4)$ on $[0,2\pi]$.
2. Stretch by scale factor $2$ in the $y$-direction, giving $y=2\sin(x/4)$.
3. Translate by $\begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}$, giving $y=3+2\sin(x/4)$.

若先平移再纵向伸缩，平移量也会被放大。因此先上移 $3/2$，再把纵坐标变为两倍。

Starting with $y=\sin x$ on $[0,\pi/2]$, apply these transformations in order:

1. Stretch by scale factor $4$ in the $x$-direction, giving $y=\sin(x/4)$ on $[0,2\pi]$.
2. Translate by $\begin{pmatrix}0\\3/2\end{pmatrix}$, giving $y=\sin(x/4)+3/2$.
3. Stretch by scale factor $2$ in the $y$-direction, giving $y=2\bigl(\sin(x/4)+3/2\bigr)=3+2\sin(x/4)$.