函数 $f$ 在 $x \in \mathbb{R}$ 上定义，且 $f(x) = x^2 - 6x + c$，其中 $c$ 为常数。已知对所有 $x$ 的值都有 $f(x) > 2$。

求 $c$ 的可能取值范围。

要求所有函数值都大于 $2$，只需检查能实际取得的最小值。配方可直接找出最小值。

We have $f(x)=(x-3)^2+c-9$. The minimum $c-9$ is attained at $x=3$. Thus the condition is $c-9>2$, or $c>11$.

也可以用导数找抛物线的最低点。

The derivative is $2x-6$. It changes from negative to positive at $x=3$, where $f(3)=c-9$. Requiring this minimum to exceed $2$ gives $c>11$.

把 $f(x)-2$ 看成开口向上的二次式。它要处处严格为正，因此不能有实根。

The quadratic $x^2-6x+c-2$ opens upwards. It is positive for all real $x$ exactly when its discriminant is negative:

This gives $c>11$.