题目

Problem

(a) Give the complete expansion of $\bigg(x + \frac{2}{x}\bigg)^5$ .

[2]

(b) In the expansion of $(a + bx^2)\bigg(x + \frac{2}{x}\bigg)^5$ , the coefficient of $x$ is zero and the coefficient of $\frac{1}{x}$ is $80$ .

Find the values of the constants $a$ and $b$ .

[4]

题目中文翻译

(a) 写出 $\bigg(x + \frac{2}{x}\bigg)^5$ 的完整展开式。

[2]

(b) 在 $(a + bx^2)\bigg(x + \frac{2}{x}\bigg)^5$ 的展开式中， $x$ 的系数为零， $\frac{1}{x}$ 的系数为 $80$ 。

求常数 $a$ 和 $b$ 的值。

[4]

解答

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每多选一个 $2/x$ ，幂次减少 $2$ 。按二项式定理依次写出六项。

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Using the general term $\binom5j2^j x^{5-2j}$ for $j=0,\ldots,5$ , the expansion is

\begin{align*} &\,x^5+10x^3+40x+80x^{-1}\\ &\,+80x^{-3}+32x^{-5}. \end{align*}

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乘上 $bx^2$ 会把幂次提高 $2$ 。分别找出产生 $x$ 和 $x^{-1}$ 的两组项。

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The coefficient of $x$ is $40a+80b$ , and that of $x^{-1}$ is $80a+80b$ . Hence

40a+80b=0,\qquad80a+80b=80.

Subtracting the equations gives $40a=80$ , so $a=2$ and $b=-1$ .