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CIE 9709 2023 June Paper 13 Q4

A Level / CIE / P1

CIE 9709 2023 June Paper 13 Paper · Question 4

题目

Problem

(a) Show that the equation

3tan⁡2x−3sin⁡2x−4=03\tan^2 x - 3\sin^2 x - 4 = 0

may be expressed in the form acos⁡4x+bcos⁡2x+c=0a\cos^4 x + b\cos^2 x + c = 0, where aa, bb and cc are constants to be found.

[3]

(b) Hence solve the equation 3tan⁡2x−3sin⁡2x−4=03\tan^2 x - 3\sin^2 x - 4 = 0 for 0∘≤x≤180∘0^\circ \leq x \leq 180^\circ.

[4]
题目中文翻译

(a) 证明方程

3tan⁡2x−3sin⁡2x−4=03\tan^2 x - 3\sin^2 x - 4 = 0

可以表示成 acos⁡4x+bcos⁡2x+c=0a\cos^4 x + b\cos^2 x + c = 0 的形式，其中 aa、bb 和 cc 是需要求出的常数。

[3]

(b) 由此解方程 3tan⁡2x−3sin⁡2x−4=03\tan^2 x - 3\sin^2 x - 4 = 0，其中 0∘≤x≤180∘0^\circ \leq x \leq 180^\circ。

[4]

解答

(a)

解法一

思路

展开

把正切平方写成正弦平方除以余弦平方，再乘以分母。然后把所有正弦平方换成余弦平方。

答题过程

展开

For cos⁡x≠0\cos x\ne0, multiplication by cos⁡2x\cos^2x gives

3sin⁡2x−3sin⁡2xcos⁡2x−4cos⁡2x=0.3\sin^2x-3\sin^2x\cos^2x-4\cos^2x=0.

Using sin⁡2x=1−cos⁡2x\sin^2x=1-\cos^2x gives

 3(1−cos⁡2x)−3(1−cos⁡2x)cos⁡2x−4cos⁡2x=0⟹ 3−3cos⁡2x−3cos⁡2x+3cos⁡4x−4cos⁡2x=0⟹ 3cos⁡4x−10cos⁡2x+3=0.\begin{align*} &\,3(1-\cos^2x)-3(1-\cos^2x)\cos^2x-4\cos^2x=0\\ \Longrightarrow&\,3-3\cos^2x-3\cos^2x+3\cos^4x-4\cos^2x=0\\ \Longrightarrow&\,3\cos^4x-10\cos^2x+3=0. \end{align*}

Thus a=3a=3, b=−10b=-10 and c=3c=3.

(b)

解法一

思路

展开

把 (a) 的方程看成关于 cos⁡2x\cos^2x 的二次方程。舍去不可能的平方值，再考虑两个余弦符号。

答题过程

展开

From (a),

(3cos⁡2x−1)(cos⁡2x−3)=0.(3\cos^2x-1)(\cos^2x-3)=0.

Since 0≤cos⁡2x≤10\le\cos^2x\le1, we have cos⁡x=±1/3\cos x=\pm1/\sqrt3. These give x=54.7∘x=54.7^\circ and 125.3∘125.3^\circ in the given interval. Both lie in the original domain.