函数 $f$ 定义为 $f(x) = 2 - \frac{5}{x + 2}$，其中 $x > -2$。

(a) 写出 $f$ 的值域。

(b) 求 $f^{-1}(x)$ 的表达式，并写出 $f^{-1}$ 的定义域。

函数 $g$ 定义为 $g(x) = x + 3$，其中 $x > 0$。

(c) 求 $fg(x)$ 的表达式，并将答案写成 $\frac{ax + b}{cx + d}$ 的形式，其中 $a$、$b$、$c$ 和 $d$ 是整数。

分母 $x+2$ 在定义域内为正，分式可以取到任意正值。

As $x+2$ ranges over $(0,\infty)$, $5/(x+2)$ takes every positive value. Thus the range of $f$ is $(-\infty,2)$.

反解时先移走常数项，再取倒数。反函数的定义域来自 (a)。

From $y=2-5/(x+2)$, we obtain $(2-y)(x+2)=5$, so

The inverse is $f^{-1}(x)=(2x+1)/(2-x)$ with domain $x<2$.

先做 $g$，再将 $x+3$ 代入 $f$。把常数 $2$ 通分到同一个分母。

For $x>0$, $g(x)=x+3>-2$, so $f(g(x))$ is defined. We have