题目

Problem

A progression has first term $a$ and second term $\frac{a^2}{a + 2}$ , where $a$ is a positive constant.

(a) For the case where the progression is geometric and the sum to infinity is $264$ , find the value of $a$ .

[5]

(b) For the case where the progression is arithmetic and $a = 6$ , determine the least value of $n$ required for the sum of the first $n$ terms to be less than $-480$ .

[5]

题目中文翻译

一个数列的首项为 $a$ ，第二项为 $\frac{a^2}{a + 2}$ ，其中 $a$ 为正常数。

(a) 当该数列为等比数列且无穷和为 $264$ 时，求 $a$ 的值。

[5]

(b) 当该数列为等差数列且 $a = 6$ 时，求使前 $n$ 项和小于 $-480$ 所需的最小 $n$ 值。

[5]

解答

(a)

解法一

思路

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用第二项除以首项求公比。 $a>0$ 保证公比在 $0$ 与 $1$ 之间。

答题过程

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The common ratio is $r=a/(a+2)$ . The sum to infinity is

\begin{align*} \frac{a}{1-a/(a+2)}=&\,\frac{a(a+2)}2\\ =&\,264. \end{align*}

Therefore $a^2+2a-528=(a-22)(a+24)=0$ . Since $a>0$ , $a=22$ .

(b)

解法一

思路

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求公差后把部分和写成关于 $n$ 的不等式。题目要求严格小于 $-480$ ，且 $n$ 必须是正整数。

答题过程

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With $a=6$ , the second term is $36/8=9/2$ , so $d=-3/2$ . Hence

\begin{align*} S_n=&\,\frac n2\Big(12-\frac32(n-1)\Big)\\ =&\,\frac34n(9-n). \end{align*}

The inequality $S_n<-480$ becomes $n^2-9n-640>0$ . For positive $n$ this requires

n>\frac{9+\sqrt{2641}}2\approx30.2.

The least integer is $31$ .

CIE 9709 2023 June Paper 13 Q8

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程