题目

Problem

(a) Express $3y^2 - 12y - 15$ in the form $3(y + a)^2 + b$ , where $a$ and $b$ are constants.

[2]

(b) Hence find the exact solutions of the equation $3x^4 - 12x^2 - 15 = 0$ .

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题目中文翻译

(a) 将 $3y^2 - 12y - 15$ 表示成 $3(y + a)^2 + b$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 为常数。

[2]

(b) 由此求方程 $3x^4 - 12x^2 - 15 = 0$ 的精确解。

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解答

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提出 $3$ ，再把 $y^2-4y$ 配成 $(y-2)^2$ 。

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Completing the square gives

\begin{align*} 3y^2-12y-15=&\,3\bigl((y-2)^2-4\bigr)-15\\ =&\,3(y-2)^2-27. \end{align*}

Thus $a=-2$ and $b=-27$ .

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把 $x^2$ 当作 (a) 中的 $y$ 。开平方后，舍去负的 $x^2$ 值。

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Using (a), the equation is $3(x^2-2)^2-27=0$ . Thus $x^2-2=\pm3$ , giving $x^2=5$ or $-1$ . The real solutions are $x=\pm\sqrt5$ .