$(3 + ax)^6$ 的展开式中 $x^3$ 的系数为 $160$。

(a) 求常数 $a$ 的值。

(b) 由此求 $(3 + ax)^6(1 - 2x)$ 的展开式中 $x^3$ 的系数。

三次项来自选取三个 $ax$。用二项式系数求出它的系数再解立方方程。

The coefficient is $\binom63 3^3a^3=540a^3$. Thus $540a^3=160$, so $a^3=8/27$ and $a=2/3$.

原展开式的三次项系数已知，只需补算二次项系数。乘积中的三次项还来自二次项乘 $-2x$。

At $a=2/3$, the coefficient of $x^2$ is

Hence the new coefficient of $x^3$ is $160-2(540)=-920$.