题目

Problem

The equation of a curve is $y = f(x)$ , where $f(x) = (2x - 1)\sqrt{3x - 2} - 2$ . The following points lie on the curve. Non-exact values have been given correct to $5$ decimal places.

$A(2, 4),\ B(2.0001, k),\ C(2.001, 4.00625),\ D(2.01, 4.06261),\ E(2.1, 4.63566),\ F(3, 11.22876)$

(a) Find the value of $k$ . Give your answer correct to $5$ decimal places.

[1]

The table shows the gradients of the chords $AB$ , $AC$ , $AD$ and $AF$ .

Chord	$AB$	$AC$	$AD$	$AE$	$AF$
Gradient of chord	$6.2501$	$6.2511$	$6.2608$		$7.2288$

(b) Find the gradient of the chord $AE$ . Give your answer correct to $4$ decimal places.

[1]

题目中文翻译

一条曲线的方程为 $y = f(x)$ ，其中 $f(x) = (2x - 1)\sqrt{3x - 2} - 2$ 。以下点在该曲线上。非精确值均已给出到 $5$ 位小数。

$A(2, 4),\ B(2.0001, k),\ C(2.001, 4.00625),\ D(2.01, 4.06261),\ E(2.1, 4.63566),\ F(3, 11.22876)$

(a) 求 $k$ 的值。答案精确到 $5$ 位小数。

[1]

表格显示弦 $AB$ 、 $AC$ 、 $AD$ 和 $AF$ 的斜率。

弦	$AB$	$AC$	$AD$	$AE$	$AF$
弦的斜率	$6.2501$	$6.2511$	$6.2608$		$7.2288$

(b) 求弦 $AE$ 的斜率。答案精确到 $4$ 位小数。

[1]

解答

(a)

解法一

思路

展开

把 $B$ 的横坐标代入函数，并在最后保留五位小数。

答题过程

展开

Substitution gives

\begin{align*} k=&\,(2(2.0001)-1)\sqrt{3(2.0001)-2}-2\\ =&\,4.00063 \end{align*}

to five decimal places.

(b)

解法一

思路

展开

用纵坐标差除以横坐标差。

答题过程

展开

The gradient of $AE$ is

\frac{4.63566-4}{2.1-2}=6.3566

to four decimal places.

(c)

解法一

思路

展开

第二个点越靠近 $A$ ，割线斜率越接近切线斜率。从表中离 $A$ 最近的几项看极限。

答题过程

展开

As the second point approaches $A$ , the gradients $6.2608$ , $6.2511$ and $6.2501$ tend towards $6.25$ . This suggests $f'(2)=6.25$ .

CIE 9709 2024 June Paper 11 Q4

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程