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CIE 9709 2024 June Paper 11 Q5

A Level / CIE / P1

CIE 9709 2024 June Paper 11 Paper · Question 5

题目

Problem

(a) Prove the identity

sin⁡2x−cos⁡x−11+cos⁡x=−cos⁡x\frac{\sin^2 x - \cos x - 1}{1 + \cos x} = -\cos x
[3]

(b) Hence solve the equation

sin⁡2x−cos⁡x−12+2cos⁡x=14\frac{\sin^2 x - \cos x - 1}{2 + 2\cos x} = \frac14

for 0∘≤x≤360∘0^\circ \leq x \leq 360^\circ.

[3]
题目中文翻译

(a) 证明恒等式

sin⁡2x−cos⁡x−11+cos⁡x=−cos⁡x\frac{\sin^2 x - \cos x - 1}{1 + \cos x} = -\cos x
[3]

(b) 由此解方程

sin⁡2x−cos⁡x−12+2cos⁡x=14\frac{\sin^2 x - \cos x - 1}{2 + 2\cos x} = \frac14

其中 0∘≤x≤360∘0^\circ \leq x \leq 360^\circ。

[3]

解答

(a)

解法一

思路

展开

用平方恒等式消掉正弦平方。分子就能提出 −cos⁡x-\cos x，剩下的因子和分母相同。

答题过程

展开

For 1+cos⁡x≠01+\cos x\ne0,

 sin⁡2x−cos⁡x−11+cos⁡x= −cos⁡2x−cos⁡x1+cos⁡x= −cos⁡x(1+cos⁡x)1+cos⁡x= −cos⁡x.\begin{align*} &\,\frac{\sin^2x-\cos x-1}{1+\cos x}\\ =&\,\frac{-\cos^2x-\cos x}{1+\cos x}\\ =&\,\frac{-\cos x(1+\cos x)}{1+\cos x}\\ =&\,-\cos x. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

分母多了一个因子 22，所以左式是 (a) 结果的一半。再用余弦为负找两个象限。

答题过程

展开

By (a), the equation becomes −12cos⁡x=14-\frac12\cos x=\frac14, hence cos⁡x=−12\cos x=-\frac12. In the given interval this gives x=120∘x=120^\circ or 240∘240^\circ. Neither makes the original denominator zero.