函数 $f$ 定义为 $f(x) = \frac{2}{x^2} + 4$，其中 $x < 0$。图中显示 $y = f(x)$ 的图像。

(a) 在该图上，画出 $y = f^{-1}(x)$ 的图像。标出任何相关的镜像线。

(b) 求 $f^{-1}(x)$ 的表达式。

(c) 解方程 $f(x) = 4.5$。

(d) 解释为什么方程 $f^{-1}(x) = f(x)$ 无解。

把原图关于 $y=x$ 反射。两条渐近线也交换，反函数在第四象限。

Draw the mirror line $y=x$ and reflect the branch across it. Its asymptotes $x=0$ and $y=4$ become $y=0$ and $x=4$. The inverse branch lies to the right of $x=4$ and below the $x$-axis. For example, $(-1,6)$ reflects to $(6,-1)$.

反解 $x$ 后会出现两个平方根。原定义域是 $x<0$，所以必须选负根。

From $y=2/x^2+4$, we get $x^2=2/(y-4)$. The original domain requires $x<0$, and the original range is $y>4$. Hence

把 $4.5$ 代入反函数，或直接解 $2/x^2=0.5$。

Since $f(x)=4.5$, $x^2=4$. Only $x=-2$ lies in the domain.

比较两个函数各自可以接收哪些横坐标，也可以直接比较它们的输出符号。

The domain of $f$ is $x<0$, and that of $f^{-1}$ is $x>4$. There is no input at which both sides are defined, so the equation has no solution.