题目

Problem

In the diagram, $AOD$ and $BC$ are two parallel straight lines. Arc $AB$ is part of a circle with centre $O$ and radius $15$ cm. Angle $BOA = \theta$ radians. Arc $CD$ is part of a circle with centre $O$ and radius $10$ cm. Angle $COD = \frac12\pi$ radians.

(a) Show that $\theta = 0.7297$ , correct to $4$ decimal places.

[1]

(b) Find the perimeter and the area of the shape $ABCD$ . Give your answers correct to $3$ significant figures.

[7]

题目中文翻译

如图， $AOD$ 和 $BC$ 是两条平行直线。弧 $AB$ 是以 $O$ 为圆心、半径为 $15$ cm 的圆的一部分。角 $BOA = \theta$ 弧度。弧 $CD$ 是以 $O$ 为圆心、半径为 $10$ cm 的圆的一部分。角 $COD = \frac12\pi$ 弧度。

(a) 证明 $\theta = 0.7297$ ，精确到 $4$ 位小数。

[1]

(b) 求图形 $ABCD$ 的周长和面积。答案精确到 $3$ 位有效数字。

[7]

解答

(a)

解法一

思路

展开

两条平行线之间的距离是 $OC=10$ 。在以 $OB$ 为斜边的直角三角形中，这个距离是 $\theta$ 的对边。

答题过程

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Since $BC$ is parallel to $AD$ , $B$ is $10$ cm above $AD$ . As $OB=15$ and the angle shown is acute,

\theta=\sin^{-1}(10/15)=0.7297

radians to four decimal places.

(b)

解法一

思路

展开

周长由两段直边与两段圆弧组成。面积把图形分成两个扇形和直角三角形 $OBC$ 。

答题过程

展开

In right triangle $OBC$ ,

BC=\sqrt{15^2-10^2}=5\sqrt5.

Also $AD=15+10=25$ . The arc lengths are $15\theta$ and $10(\pi/2)=5\pi$ , so the perimeter is

25+5\sqrt5+15\theta+5\pi\approx62.8\text{ cm}.

Adding the two sector areas and the triangle area gives

\begin{align*} &\,\frac12(15)^2\theta+\frac12(10)^2\frac\pi2\\ &\,+\frac12(10)(5\sqrt5)\\ \approx&\,217\text{ cm}^2. \end{align*}

Both approximations use the unrounded angle and are given to three significant figures.

CIE 9709 2024 June Paper 11 Q7

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程