题目

Problem

The coefficient of $x^2$ in the expansion of $(1 - 4x)^6$ is $12$ times the coefficient of $x^2$ in the expansion of $(2 + ax)^5$ .

Find the value of the positive constant $a$ .

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题目中文翻译

$(1 - 4x)^6$ 的展开式中 $x^2$ 的系数，是 $(2 + ax)^5$ 的展开式中 $x^2$ 的系数的 $12$ 倍。

求正常数 $a$ 的值。

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解答

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分别选出两个二项式展开的 $x^2$ 项。系数关系给出 $a^2$ ，最后只取正根。

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The two coefficients are $\binom62(-4)^2=240$ and $\binom52 2^3a^2=80a^2$ . Hence $240=12(80a^2)$ , giving $a^2=1/4$ . Since $a>0$ , $a=1/2$ .