(a) 证明方程 $\frac{7\tan\theta}{\cos\theta} + 12 = 0$ 可以表示为

$12\sin^2\theta - 7\sin\theta - 12 = 0.$

(b) 由此求解方程 $\frac{7\tan\theta}{\cos\theta} + 12 = 0$，其中 $0^\circ \leq \theta \leq 360^\circ$。

用正弦与余弦表示正切，消去分母后再用平方恒等式。

On the original domain $\cos\theta\ne0$, the equation is

Multiplying by $\cos^2\theta$ and substituting $\cos^2\theta=1-\sin^2\theta$ gives $7\sin\theta+12(1-\sin^2\theta)=0$. Rearranging yields $12\sin^2\theta-7\sin\theta-12=0$.

用 (a) 的二次式求正弦值，排除超出 $[-1,1]$ 的根。负正弦对应第三、第四象限。

From (a),

The value $4/3$ is impossible, so $\sin\theta=-3/4$. With $\alpha=\sin^{-1}(3/4)$, the two angles are $180^\circ+\alpha$ and $360^\circ-\alpha$. Both have nonzero cosine. Thus $\theta=228.6^\circ$ or $311.4^\circ$.