函数 $f$ 定义如下：

$f(x) = \sqrt{x} - 1 \quad \text{其中 } x > 1.$

(a) 求 $f^{-1}(x)$ 的表达式。

图中显示 $y = g(x)$ 的图像，其中 $g(x) = \frac{1}{x^2 + 2}$，$x \in \mathbb{R}$。

(b) 写出 $g$ 的值域，并说明 $g^{-1}$ 是否存在。

函数 $h$ 定义为 $h(x) = \frac{1}{x^2 + 2}$，其中 $x \geq 0$。

(c) 解方程 $hf(x) = f\big(\frac{25}{16}\big)$。答案写成 $a + b\sqrt{c}$ 的形式，其中 $a$、$b$ 和 $c$ 是整数。

把 $y=\sqrt{x}-1$ 中的平方根单独留在一边，再反解 $x$。

The relation $y+1=\sqrt{x}$ gives $x=(y+1)^2$. Since $x>1$ in the original function, its range is $(0,\infty)$. Thus $f^{-1}(x)=(x+1)^2$ for $x>0$.

分母最小为 $2$，但可以任意大。再看图像关于 $y$ 轴的对称性。

Since $x^2+2$ takes every value in $[2,\infty)$, the range is $(0,1/2]$. The function is even, so $g(x)=g(-x)$ for every $x$, including pairs of distinct inputs. Thus $g$ is not one-to-one and has no inverse on its stated domain.

先算右边的函数值，再把 $hf(x)$ 看成 $h$ 作用在 $f(x)$ 上。由于 $x>1$，$f(x)$ 必须为正。

We have $f(25/16)=5/4-1=1/4$. Hence

As $\sqrt{x}-1>0$, $\sqrt{x}=1+\sqrt2$. Therefore $x=(1+\sqrt2)^2=3+2\sqrt2$.