一个圆的方程为 $(x - 6)^2 + (y + a)^2 = 18$。方程为 $y = 2a - x$ 的直线是该圆的一条切线。

(a) 求常数 $a$ 的两个可能值。

(b) 对于较大的 $a$ 值，求垂直于给定切线的直径的方程。

把切线代入圆的方程。相切意味着联立所得的二次方程恰好有一个实根。

Substituting $y=2a-x$ gives $(x-6)^2+(3a-x)^2=18$, which expands to

The discriminant is $(12+6a)^2-8(9a^2+18)=-36a^2+144a$. Setting it to zero gives $a(a-4)=0$. Thus $a=0$ or $a=4$.

也可用圆心到切线的距离等于半径。直线的法向量长度用于把代入值转换成距离。

The centre is $(6,-a)$ and the radius is $\sqrt{18}$. The distance to $x+y-2a=0$ is

For tangency this equals $\sqrt{18}$, so $|6-3a|=6$. Hence $a=0$ or $a=4$.

直径经过圆心，且与斜率为 $-1$ 的切线垂直。

With $a=4$, the centre is $(6,-4)$. The diameter has gradient $1$, so its equation is $y+4=x-6$, or $y=x-10$.