题目
Problem
A function f is such that f′(x)=6(2x−3)2−6x for x∈R.
(a) Determine the set of values of x for which f(x) is decreasing.
[4]
(b) Given that f(1)=−1, find f(x).
[4]
题目中文翻译
函数 f 满足 f′(x)=6(2x−3)2−6x，其中 x∈R。
(a) 求使 f(x) 递减的 x 的取值范围。
[4]
(b) 已知 f(1)=−1，求 f(x)。
[4]
解答
(a)
解法一
思路
展开
下降区间由 f′(x)<0 确定。展开并分解导数，检查两个零点之间的符号。
答题过程
展开
We have
f′(x)=6(4x2−13x+9)=6(x−1)(4x−9).
It is negative between its zeros, so f is decreasing for 1<x<9/4.
(b)
解法一
思路
展开
积分时保留括号形式，第一项除以括号内的导数 2。再代入给定的函数值。
答题过程
展开
Integrating gives
f(x)=(2x−3)3−3x2+C.
The condition f(1)=−1 gives −1=−1−3+C, so C=3. Therefore f(x)=(2x−3)3−3x2+3.
