函数 $f$ 定义为 $f(x) = 10 + 6x - x^2$，其中 $x \in \mathbb{R}$。

(a) 通过配方，求 $f$ 的值域。

函数 $g$ 定义为 $g(x) = 4x + k$，其中 $x \in \mathbb{R}$，$k$ 是常数。

(b) 已知 $y = g^{-1}f(x)$ 的图像与 $y = g(x)$ 的图像在唯一一点 $P$ 相交。

求 $P$ 的坐标。

先把 $x$ 的二次式配方。平方项前有负号，因此顶点高度是值域上端。

Completing the square gives

For real $x$, the square takes all nonnegative values. Thus the range is $(-\infty,19]$.

先求 $g^{-1}$，再把两条图像的表达式相等。只有一个交点，就要求关于 $x$ 的二次方程有重根。

The inverse is $g^{-1}(x)=(x-k)/4$. At an intersection,

The discriminant must be zero, so $100-4(5k-10)=0$ and $k=7$. The quadratic is then $(x+5)^2=0$, giving $x=-5$. Since $g(-5)=-13$, the intersection is $P=(-5,-13)$.

也可以在等式两边作用 $g$，直接撤销左边的反函数。这样不必先求反函数的解析式。

Since $g$ is one-to-one, $g^{-1}(f(x))=g(x)$ is equivalent to $f(x)=g(g(x))$. Here $g(g(x))=16x+5k$, so

There is exactly one solution when $35-5k=0$, giving $k=7$ and $x=-5$. Then $y=g(-5)=-13$, so $P=(-5,-13)$.