题目

Problem

The diagram shows a sector of a circle with centre $C$ . The radii $CA$ and $CB$ each have length $r$ cm and the size of the reflex angle $ACB$ is $\theta$ radians. The sector, shaded in the diagram, has a perimeter of $65$ cm and an area of $225 \text{ cm}^2$ .

(a) Find the values of $r$ and $\theta$ .

[4]

(b) Find the area of triangle $ACB$ .

[2]

题目中文翻译

图中显示一个圆心为 $C$ 的扇形。半径 $CA$ 和 $CB$ 的长度均为 $r$ cm，反角 $ACB$ 的大小为 $\theta$ 弧度。图中阴影扇形的周长为 $65$ cm，面积为 $225 \text{ cm}^2$ 。

(a) 求 $r$ 和 $\theta$ 的值。

[4]

(b) 求三角形 $ACB$ 的面积。

[2]

解答

(a)

解法一

思路

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分别用扇形的周长和面积列式。消去角度后求两个半径，再检查 $\theta$ 必须是优角。

答题过程

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The perimeter and area give

2r+r\theta=65,\qquad \frac12r^2\theta=225.

Thus $\theta=450/r^2$ , and substitution yields

2r^2-65r+450=(r-10)(2r-45)=0.

For $r=10$ , $\theta=4.5$ , which is between $\pi$ and $2\pi$ . For $r=22.5$ , $\theta=8/9$ , which is not reflex. Hence $r=10$ cm and $\theta=4.5$ radians.

(b)

解法一

思路

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三角形的夹角是小于 $\pi$ 的角 $2\pi-\theta$ ，并非扇形的优角。

答题过程

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Using the two radii and the included angle, the area is

\frac12(10)(10)\sin(2\pi-4.5)\approx48.9\text{ cm}^2.

CIE 9709 2024 June Paper 13 Q3

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程