一条曲线经过点 $\big(\frac{4}{5}, -3\big)$，并且满足 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{-20}{(5x - 3)^2}$。

(a) 求这条曲线的方程。

(b) 这条曲线先经过 $x$ 方向、比例因子为 $\frac{1}{2}$ 的伸缩变换，然后再平移 $\begin{pmatrix}2 \\ 10\end{pmatrix}$。

求新曲线的方程。

把分母改成负指数积分，再用曲线经过的点确定积分常数。

On the branch containing $x=\frac45$, integration gives

At $x=\frac45$, the fraction is $4$, so $-3=4+C$ and $C=-7$. The equation is $y=\frac4{5x-3}-7$.

横向伸缩到原来的一半时，先把式中的 $x$ 换成 $2x$。之后右移 $2$ 时，把这一步得到的表达式中的 $x$ 换成 $x-2$。

After the stretch the equation is $y=4/(10x-3)-7$. Translating by $\begin{pmatrix}2\\10\end{pmatrix}$ gives