函数 $f$ 和 $g$ 定义为

(a) 完整描述一组变换，使得 $y = f(x)$ 的图像变换为 $y = g(x)$ 的图像。请明确说明这些变换的顺序。

图中显示了 $y = g(x)$ 的图像。

(b) 在图中画出 $y = g^{-1}(x)$ 的图像，并画出任何相关的对称线。

(c) 求 $g^{-1}(x)$ 的表达式。

(d) 写出 $g^{-1}$ 的值域。

函数 $h$ 定义为

(e) 求 $g^{-1}h(4)$ 的值。

(f) 说明为什么复合函数 $hg^{-1}$ 不能构成。

外面的系数 $3$ 改变高度，根号里的 $x+2$ 让图像左移。按先伸缩后平移的顺序，可直接读出位移。

Stretch first by scale factor $3$ in the $y$-direction, giving $y=3\sqrt{x}$. Then translate by $\begin{pmatrix}-2\\-5\end{pmatrix}$ to obtain $y=3\sqrt{x+2}-5$ on $x\ge-2$.

若先平移，竖直位移也会被后续伸缩放大。因此应先下移 $5/3$，再放大三倍。

Translate first by $\begin{pmatrix}-2\\-5/3\end{pmatrix}$, then stretch by scale factor $3$ in the $y$-direction. The result is $3(\sqrt{x+2}-5/3)=3\sqrt{x+2}-5$.

画出镜像直线 $y=x$，把 $g$ 的端点及曲线上其他点的横纵坐标对调。

Reflect the increasing branch of $y=g(x)$ across $y=x$. The endpoint $(-2,-5)$ maps to $(-5,-2)$, and the reflected curve rises to the right. Draw and label the mirror line $y=x$.

从 $y=g(x)$ 先分离平方根再平方。原函数的输出从 $-5$ 开始。

Writing $y=3\sqrt{x+2}-5$ gives

Thus $g^{-1}(x)=\Big(\frac{x+5}3\Big)^2-2$ for $x\ge-5$.

反函数的值域等于原函数的定义域。

The range of $g^{-1}$ is $[-2,\infty)$, since the domain of $g$ is $x\ge-2$.

先求 $h(4)$，再将结果代入 (c) 的反函数。

We have $h(4)=2$, so

如果反函数输出了负数，外层函数 $h$ 就无法接收这个值。

The range $[-2,\infty)$ of $g^{-1}$ is not contained in the domain $[0,\infty)$ of $h$. For example, $g^{-1}(-5)=-2$, where $h$ is undefined. Thus $hg^{-1}$ cannot be formed on the given domain of $g^{-1}$.