一条曲线满足 $\frac{dy}{dx} = 4(2x - 5)^3 - 9x^{\frac{1}{2}}$。该曲线经过点 $A\left(4, -\frac{11}{2}\right)$。

(a) 求曲线在点 $A$ 处的法线斜率。

(b) 求曲线方程。

给出的导数是切线斜率。把 $x=4$ 代入后取负倒数。

At $x=4$, the tangent gradient is $4(8-5)^3-9\sqrt4=108-18=90$. Thus the normal gradient is $-\frac1{90}$.

把导数逐项积分。第一项的内层导数为 $2$，积分时要计入这个系数。

Integrating gives

Using $A=(4,-\frac{11}2)$,

so $C=2$. The curve is $y=\frac12(2x-5)^4-6x^{3/2}+2$.