题目

Problem

(a) Find the first three terms, in ascending powers of $x$ , in the expansion of each of the following expressions.

(i) $(2 - px)^5$

[2]

(ii) $\left(1 - \frac{1}{2}x\right)^4$

[2]

(b) Given that the coefficient of $x^2$ in the expansion of $(2 - px)^5\left(1 - \frac{1}{2}x\right)^4$ is 93, find the possible values of the constant $p$ .

[3]

题目中文翻译

(a) 求下列各式按 $x$ 的升幂展开式中的前三项。

(i) $(2 - px)^5$

[2]

(ii) $\left(1 - \frac{1}{2}x\right)^4$

[2]

(b) 已知 $(2 - px)^5\left(1 - \frac{1}{2}x\right)^4$ 的展开式中 $x^2$ 的系数为 93，求常数 $p$ 的可能值。

[3]

解答

(a)(i)

解法一

思路

展开

按二项式定理只取 $x$ 的零次、一次和二次项。

答题过程

展开

The first three terms are

\begin{align*} &\,2^5+\binom51 2^4(-px)+\binom52 2^3(-px)^2\\ =&\,32-80px+80p^2x^2. \end{align*}

(a)(ii)

解法一

思路

展开

每取一次 $-x/2$ ，总幂次就加 $1$ 。平方项的符号是正的。

答题过程

展开

The first three terms are

\begin{align*} &\,1+\binom41\Big(-\frac x2\Big)+\binom42\Big(-\frac x2\Big)^2\\ =&\,1-2x+\frac32x^2. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

乘积中的二次项来自两组常数乘二次项，以及两个一次项相乘。

答题过程

展开

From (a), the coefficient of $x^2$ is

32\cdot\frac32+(-80p)(-2)+80p^2\cdot1 =48+160p+80p^2.

Setting it equal to $93$ gives $16p^2+32p-9=(4p-1)(4p+9)=0$ . Hence $p=\frac14$ or $p=-\frac94$ .

CIE 9709 2025 June Paper 11 Q5

题目

解答

(a)(i)

解法一

思路

答题过程

(a)(ii)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程