图中显示了一个圆心为 $A$、半径为 $r$ cm 的扇形 $ABC$。角 $BAC$ 为 $\alpha$ 弧度，其中 $0 < \alpha < \frac{1}{2}\pi$。

(a) 已知三角形 $ABC$ 的面积为 $4\text{ cm}^2$，扇形 $ABC$ 的面积为 $8\alpha\text{ cm}^2$。

求阴影弓形面积的精确值。

(b) 改为已知弦 $BC$ 的长度为 $\frac{1}{\sqrt{2}}r$ cm，但三角形 $ABC$ 的面积仍为 $4\text{ cm}^2$。

求阴影弓形的面积。答案精确到 3 位有效数字。

先用扇形面积确定 $r^2$，再用三角形面积确定锐角 $\alpha$。弓形面积等于扇形减三角形。

The sector area satisfies $\frac12r^2\alpha=8\alpha$. As $\alpha>0$, $r^2=16$. The triangle area gives $\frac12(16)\sin\alpha=4$, so $\sin\alpha=\frac12$. Since $\alpha$ is acute, $\alpha=\frac\pi6$. The shaded area is

弦长给出了等腰三角形的三边比例，可用余弦定理求角。再用固定的三角形面积求 $r^2$。

The cosine rule gives

so $\cos\alpha=\frac34$ and $\sin\alpha=\frac{\sqrt7}{4}$. Since the triangle area is $4$,

The shaded area is therefore

to three significant figures.