题目
Problem
(a) Express x2+4x+2 in the form (x+a)2+b, where a and b are integers.
[2]
The functions f and g are defined as follows.
f(x)=x2+4x+2for x≤−2
g(x)=−x−4for x≥−2
(b) (i) Find an expression for f−1(x).
[3]
(ii) Find an expression for (gf)−1(x).
[4]
题目中文翻译
(a) 将 x2+4x+2 表示为 (x+a)2+b 的形式，其中 a 和 b 为整数。
[2]
函数 f 和 g 定义如下。
f(x)=x2+4x+2其中 x≤−2
g(x)=−x−4其中 x≥−2
(b) (i) 求 f−1(x) 的表达式。
[3]
(ii) 求 (gf)−1(x) 的表达式。
[4]
解答
(a)
解法一
思路
展开
用一次项系数的一半配方。展开 (x+2)2 会多出常数 4，要将它扣除。
答题过程
展开
x2+4x+2=(x+2)2−4+2=(x+2)2−2.
Hence a=2 and b=−2.
(b)(i)
解法一
思路
展开
用配方后的式子反解 x。由于原定义域是 x≤−2，x+2 只能取非正根。
答题过程
展开
From y=(x+2)2−2 with x≤−2, we get x=−2−y+2. The range of f is [−2,∞), so
f−1(x)=−2−x+2,x≥−2.
(b)(ii)
解法一
思路
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先写出 g(f(x))，然后反解。原输入仍须满足 x≤−2。
答题过程
展开
Since the range of f is [−2,∞), it is contained in the domain of g. The composite is
gf(x)=−((x+2)2−2)−4=−(x+2)2−2,x≤−2.
Solving y=−(x+2)2−2 with x+2≤0 gives x=−2−−y−2. Thus
(gf)−1(x)=−2−−x−2,x≤−2.
解法二
思路
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反转复合函数时，先撤销外层 g，再撤销内层 f。本题 g 的反函数仍是同一个线性表达式，但定义域不同。
答题过程
展开
Solving y=−x−4 on x≥−2 gives g−1(x)=−x−4 for x≤−2. Therefore
(gf)−1(x)===f−1(g−1(x))−2−(−x−4)+2−2−−x−2
for x≤−2.
