点 $P$ 沿着方程为 $y = ax^{\frac{3}{2}} - 12x$ 的曲线运动，且 $P$ 的 $x$ 坐标以每秒 5 个单位的恒定速率增加。

(a) 当 $x = 9$ 时，求 $P$ 的 $y$ 坐标的变化率。答案用常数 $a$ 表示。

(b) 已知该曲线在 $x = \frac{1}{4}$ 时有一个极小点，求 $a$ 的值。

纵坐标随时间的变化率等于曲线斜率乘横坐标随时间的变化率。

Differentiating gives $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac32a\sqrt x-12$. At $x=9$, the slope is $\frac92a-12$. Since $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=5$,

units per second.

极小点是定义域内部的驻点。把 $x=\frac14$ 代入一阶导数并令它为零。

At the minimum, $0=\frac32a(\frac12)-12=\frac34a-12$, so $a=16$. This gives $y''=\frac{3a}{4\sqrt x}>0$ at $x=\frac14$, consistent with a minimum.