一条曲线的方程为 $y = 4\cos 2x + 3$，其中 $0 \leq x \leq 2\pi$。

(a) 写出 $y$ 的最大可能值和最小可能值。

(b) 画出该曲线的草图。

(c) 由此判断方程 $4\cos 2x + 3 = 2x - 1$ 在 $0 \leq x \leq 2\pi$ 范围内的解的个数。

余弦在 $-1$ 与 $1$ 之间变化，乘以 $4$ 后整体再上移 $3$。

The greatest value is $4(1)+3=7$, and the least value is $4(-1)+3=-1$. Both occur on the given interval.

周期是 $\pi$，所以区间内有两个完整周期。先标出三个最高点和两个最低点。

Sketch a smooth cosine curve about the midline $y=3$. Mark maxima at $(0,7)$, $(\pi,7)$ and $(2\pi,7)$, and minima at $(\frac\pi2,-1)$ and $(\frac{3\pi}2,-1)$. The curve crosses the midline halfway between each pair of adjacent extrema.

在 (b) 的图上画直线 $y=2x-1$，再数它和曲线的交点。

The line through $(0,-1)$ and $(4,7)$ crosses the sketch once in each of $(0,\frac\pi2)$, $(\frac\pi2,\pi)$ and $(\pi,\frac{3\pi}2)$, with no further crossing. Thus there are three solutions.