图中显示了方程为 $x^2 + y^2 - 14x + 8y + 36 = 0$ 的圆和直线 $y = -2$。该直线与圆交于点 $A$ 和 $B$。圆心为 $C$。

(a) 求 $A$、$B$、$C$ 的坐标。

(b) 求角 $ACB$ 的大小，单位为弧度。答案精确到 3 位有效数字。

(c) 弦 $AB$ 将圆分成两个弓形。

求较大弓形的面积。

对圆的方程配方即可读出圆心。把 $y=-2$ 代入标准式求弦的两个端点。

Completing the squares gives $(x-7)^2+(y+4)^2=29$, so $C=(7,-4)$. When $y=-2$, $(x-7)^2=25$, giving $x=2$ or $12$. From the diagram, $A=(2,-2)$ and $B=(12,-2)$.

圆心到弦中点的垂线平分圆心角。用半弦和圆心到弦的距离求半角。

The midpoint of $AB$ is $M=(7,-2)$, so $AM=5$ and $CM=2$. Hence

radians to three significant figures.

也可以直接用三角形 $ACB$ 的三边与余弦定理。

The sides are $AC=BC=\sqrt{29}$ and $AB=10$. For $\phi=\angle ACB$,

This gives $\phi=2.38$ radians to three significant figures.

大弓形等于整圆减去小弓形。小弓形是小扇形减三角形 $ACB$。

Let $\phi$ be the unrounded angle from (b). The minor sector area is $\frac{29}{2}\phi$, and the triangle with base $10$ and height $2$ has area $10$. The larger segment therefore has area

square units.