一条曲线 $C$ 的方程为 $y = \frac{9}{2x - 5} + 2x - 5$。

(a) 求两个驻点的坐标。

(b) 求 $\frac{d^2y}{dx^2}$，并由此判断每个驻点的性质。

(c) 曲线 $C$ 通过平移 $\begin{pmatrix}-3\\7\end{pmatrix}$，再关于 $x$ 轴反射，变换为曲线 $C_1$。

(i) 写出 $C_1$ 的极大点坐标。

(ii) 求 $C_1$ 的方程，写成 $y = \frac{a}{bx + c} + dx + e$ 的形式，其中 $a$、$b$、$c$、$d$、$e$ 为整数。

先求一阶导数，令它等于零。分母中的一次式有正、负两个可能值，两者都要回代求纵坐标。

For $x\ne\frac52$,

Setting this to zero gives $(2x-5)^2=9$, so $x=1$ or $x=4$. At $x=1$, $y=9/(-3)-3=-6$. At $x=4$, $y=9/3+3=6$. The stationary points are $(1,-6)$ and $(4,6)$.

再求一次导数，代入两个驻点。分母的立方保留 $2x-5$ 的符号。

The second derivative is

At $x=1$ it is $-72/27<0$, so $(1,-6)$ is a local maximum. At $x=4$ it is $72/27>0$, so $(4,6)$ is a local minimum.

关于 $x$ 轴反射会交换极大和极小。应追踪原曲线的极小点，先平移再反射。

The original minimum $(4,6)$ translates to $(1,13)$ and then reflects to $(1,-13)$. Thus the maximum point of $C_1$ is $(1,-13)$.

先按平移后的横坐标反查旧横坐标，再加上纵向平移量。最后把整个新函数值取负。

After the translation, the equation is

Reflection in the $x$-axis gives $y=-\frac9{2x+1}-2x-8$.