函数 $f$ 定义为 $f(x) = x^2 + 4ax + a$，其中 $x \in \mathbb{R}$，$a$ 是常数。

函数 $g$ 满足 $g^{-1}(x) = \sqrt[3]{2x - 4}$，其中 $x \in \mathbb{R}$。

(a) 已知 $f$ 的值域为 $f(x) \geq -33$，求 $a$ 的可能值。

(b) 改为已知 $fgg(0) = 96$，求 $a$ 的值。

用配方找二次函数的最小值。题目给的是完整值域，因此最小值恰好为 $-33$。

Completing the square gives $f(x)=(x+2a)^2+a-4a^2$. Its minimum is $a-4a^2$, so

Therefore $a=3$ or $a=-\frac{11}{4}$.

也可以把最小值看成水平切线的高度。直线 $y=-33$ 与抛物线恰好有一个交点。

At the lower endpoint of the range, $x^2+4ax+a=-33$ has a repeated root. Therefore

Since the parabola opens upwards, each value gives the required minimum. Hence $a=3$ or $a=-\frac{11}{4}$.

微分也能确定二次函数的最小点。二阶导数为正，再把驻点处的函数值等于值域的下端点。

We have $f'(x)=2x+4a$ and $f''(x)=2>0$, so the minimum occurs at $x=-2a$. Its value is

The given range has lower endpoint $-33$, hence $a-4a^2=-33$. Therefore

giving $a=3$ or $a=-\frac{11}{4}$.

先把给出的反函数反解成 $g$。复合式只在 $0$ 处取值，所以逐层计算比展开整个复合函数更方便。

If $y=g^{-1}(x)=\sqrt[3]{2x-4}$, then $y^3=2x-4$, so $g(x)=(x^3+4)/2$. Thus $g(0)=2$ and $g(g(0))=g(2)=6$. The given condition becomes

so $25a=60$ and $a=\frac{12}5$.