一个等比数列的前两项为 $4\sin^2\theta$、$8\sin^3\theta$，其中 $\theta$ 是满足 $0 < \theta < \frac{1}{6}\pi$ 的角。

已知该数列的无穷和为 $\frac{1}{2}$，求 $\theta$ 的值。答案写成 $\sin^{-1} k$ 的形式，其中 $k$ 是有理数。

第二项除以第一项就是公比。把无穷和条件写成关于 $\sin\theta$ 的二次方程。

Put $s=\sin\theta$. The angle restriction gives $0<s<\frac12$. The common ratio is $8s^3/(4s^2)=2s$, so $0<2s<1$. Hence

Only $s=\frac14$ is in the required interval. Therefore $\theta=\sin^{-1}(\frac14)$.