题目

Problem

Given that $\int_1^3 \left(\frac{a}{(4x - 3)^2} + 2\right)\,dx = 12$ , find the value of the constant $a$ .

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题目中文翻译

已知 $\int_1^3 \left(\frac{a}{(4x - 3)^2} + 2\right)\,dx = 12$ ，求常数 $a$ 的值。

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解答

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把分母写成负指数来积分，并补上内层的系数。代入上下限之后再解 $a$ 。

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An antiderivative is $-a/[4(4x-3)]+2x$ . Therefore

\begin{align*} 12=&\,\Big[-\frac{a}{4(4x-3)}+2x\Big]_1^3\\ =&\,\Big(-\frac a{36}+6\Big)-\Big(-\frac a4+2\Big)\\ =&\,\frac{2a}{9}+4. \end{align*}

This gives $a=36$ .