题目

Problem

(a) Find the first three terms in the expansion of $\left(2 - \frac{3}{2}x\right)^5$ in ascending powers of $x$ .

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(b) Use your answer to part (a), with a suitable value of $x$ , to find an approximation to $1.985^5$ .

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题目中文翻译

(a) 求 $\left(2 - \frac{3}{2}x\right)^5$ 按 $x$ 的升幂展开式中的前三项。

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(b) 利用你在 (a) 中的答案，并选取合适的 $x$ 值，求 $1.985^5$ 的近似值。

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解答

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按二项式定理取 $x$ 的零次、一次和二次项。每个 $x$ 都来自一个 $-3x/2$ 。

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The first three terms are

\begin{align*} &\,2^5+\binom51 2^4\Big(-\frac32x\Big)\\ &\,\hspace{2pt}+\binom52 2^3\Big(-\frac32x\Big)^2\\ =&\,32-120x+180x^2. \end{align*}

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让括号里的 $2-3x/2$ 等于 $1.985$ 。所得的 $x$ 很小，可用 (a) 的三项作近似。

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Solving $2-\frac32x=1.985$ gives $x=0.01$ . Substitution into the first three terms gives

1.985^5\approx32-120(0.01)+180(0.01)^2=30.818.