题目

Problem

An arithmetic progression has first term $a$ and common difference 2. The $N$ th term is 55 and the sum of the first $3N$ terms is 5760. Find the values of $N$ and $a$ .

[6]

题目中文翻译

一个等差数列的首项为 $a$ ，公差为 2。第 $N$ 项为 55，前 $3N$ 项的和为 5760。求 $N$ 和 $a$ 的值。

[6]

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先用第 $N$ 项求出 $a$ 与 $N$ 的关系，再代入前 $3N$ 项的和。项数只能是正整数。

答题过程

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The term condition gives $a+2(N-1)=55$ , so $a=57-2N$ . The sum condition gives

5760=\frac{3N}{2}\bigl(2a+2(3N-1)\bigr) =3N(N+56).

Thus $N^2+56N-1920=(N-24)(N+80)=0$ . Since $N>0$ , $N=24$ and $a=57-48=9$ .

CIE 9709 2025 June Paper 13 Q6

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