图中为正方形 $ABCD$，每条边长为 12 cm。点 $E$ 和 $F$ 分别位于边 $BC$ 和 $CD$ 上，且 $BE = \frac{1}{3}BC$、$DF = \frac{1}{3}DC$。弧 $EF$ 是以 $A$ 为圆心的圆的一部分。阴影区域由弧 $EF$ 以及线段 $EC$、$FC$ 围成。

(a) 证明角 $EAF$ 的大小为 0.9273 弧度，精确到 4 位有效数字。

(b) 求阴影区域的周长。

(c) 求阴影区域的面积。

角 $EAF$ 是正方形的直角去掉两侧的两个相等小角。每个小角都能由直角三角形的正切求得。

Since $BE=DF=4$, the two right triangles $ABE$ and $ADF$ are congruent. The angle at $A$ in each is $\tan^{-1}(4/12)$. Hence

radians to four significant figures.

也可以先求弦 $EF$。从圆心向弦作垂线，就能用半弦与半径求半个圆心角。

The chord $EF$ is the hypotenuse of the right triangle $ECF$, with $EC=FC=8$. Thus $EF=8\sqrt2$. The radius is $AE=\sqrt{12^2+4^2}=4\sqrt{10}$. If $\phi=\angle EAF$, bisecting the chord gives

Hence $\phi=2\sin^{-1}(1/\sqrt5)=0.9273$ radians to four significant figures.

也可先从正方形扣除三个直角三角形，求出三角形 $AEF$ 的面积，再用两边夹角的面积公式求圆心角。该角小于直角，因此反正弦取主值。

Since $BE=DF=4$, we have $EC=FC=8$. The area of triangle $AEF$ is

Also $AE=AF=\sqrt{12^2+4^2}=4\sqrt{10}$. Writing $\phi=\angle EAF$, the area formula gives

The angle lies inside the right angle $BAD$, so $0<\phi<\pi/2$. Hence $\phi=\sin^{-1}(4/5)=0.927295\ldots=0.9273$ radians to four significant figures.

阴影的周长由两条直边和一段弧组成。先由 $AE$ 求半径，再用 (a) 的未舍入角度求弧长。

The radius is $AE=\sqrt{12^2+4^2}=4\sqrt{10}$. With $\phi=\angle EAF$, the arc length is $4\sqrt{10}\,\phi$. Since $EC=FC=8$, the perimeter is

把正方形分为两个边角三角形、扇形和阴影。扣除前三部分就得到阴影面积。

Each of $ABE$ and $ADF$ has area $\frac12(12)(4)=24$. The sector area is $\frac12(4\sqrt{10})^2\phi=80\phi$. Thus the shaded area is

也可先取直角三角形 $ECF$，再减去弦 $EF$ 与弧之间的弓形。

Triangle $ECF$ has area $32$. The circular segment cut off by $EF$ has area

Hence the shaded area is $32-80(\phi-\sin\phi)\approx21.8\text{ cm}^2$.