三个点 $P$、$Q$、$R$ 的坐标分别为 $P(-13, 5)$、$Q(5, 1)$、$R(2, k)$，其中 $k$ 是常数。已知角 $PRQ$ 是直角。

(a) 证明 $k$ 的一个可能值为 10，并求另一个可能值。

(b) 现在已知 $k = 10$。一个圆经过点 $P$、$Q$、$R$。

求该圆在 $R$ 点处的切线方程。答案写成 $ax + by + c = 0$ 的形式，其中 $a$、$b$、$c$ 为整数。

直角在 $R$，所以 $PR$ 与 $RQ$ 的斜率乘积为 $-1$。两条线段的横坐标差都不为零。

The gradients of $PR$ and $RQ$ are $(k-5)/15$ and $(1-k)/3$. Thus

This gives the stated value $k=10$ and the other value $k=-4$.

也可以把 $PQ$ 当作斜边。用两点距离的平方写勾股关系，不必先算两条直线的斜率。

The right angle at $R$ means $PR^2+RQ^2=PQ^2$. Thus

Expanding gives $2k^2-12k-80=0$, so $k=10$ or $k=-4$.

直角点 $R$ 必须在以 $PQ$ 为直径的圆上。由直径中点和半径写出圆方程，再代入 $R$ 的坐标。

By the converse of the angle-in-a-semicircle theorem, $R$ lies on the circle with diameter $PQ$. Its centre is $(-4,3)$ and its squared radius is $9^2+(-2)^2=85$. Thus

Substituting $R=(2,k)$ gives $36+(k-3)^2=85$, so

Therefore $k=10$ or $k=-4$, including the stated value $10$.

圆周角 $PRQ$ 是直角，因此 $PQ$ 是直径。用其中点找圆心，再用半径与切线垂直的关系。

By the converse of the angle-in-a-semicircle theorem, $PQ$ is a diameter. The centre is $\Big(\frac{-13+5}{2},\frac{5+1}{2}\Big)=(-4,3)$. The radius to $R=(2,10)$ has gradient $(10-3)/(2+4)=7/6$. Hence the tangent is $y-10=-\frac67(x-2)$, or

求得圆方程后，也可以把 $R$ 附近的圆弧写成上半圆的函数并直接求导。

The diameter $PQ$ gives centre $(-4,3)$ and squared radius $9^2+(-2)^2=85$. Near $R$, the upper branch is $y=3+\sqrt{85-(x+4)^2}$. Therefore

The tangent at $(2,10)$ has equation $6x+7y-82=0$.