一个圆的方程为 $x^2+y^2+4x-8y-12=0$。

(a) 求该圆在点 $(2,8)$ 处的切线方程，答案写成 $ax+by+c=0$ 的形式。

(b) 已知直线 $x+3y=k$ 不与该圆相交，证明 $k^2-20k-220>0$。

配方找圆心。圆心到切点的半径与切线垂直，因此可由半径斜率求切线。

The circle is $(x+2)^2+(y-4)^2=32$, with centre $(-2,4)$. The gradient from the centre to $(2,8)$ is $(8-4)/(2-(-2))=1$. Hence the tangent has gradient $-1$ and equation $y-8=-(x-2)$, or

也可以在切点附近用上半圆的函数式，再由导数直接得到切线斜率。

Near $(2,8)$, the upper branch is $y=4+\sqrt{32-(x+2)^2}$. Thus

The tangent is therefore $y-8=-(x-2)$, or $x+y-10=0$.

把直线方程代入圆，得到关于 $y$ 的二次方程。没有交点意味着判别式严格小于零。

Substituting $x=k-3y$ into the circle gives

which expands to $10y^2-(6k+20)y+k^2+4k-12=0$. The discriminant must be negative, so

Dividing by $-4$ reverses the inequality and gives $k^2-20k-220>0$.

也可以看圆心到直线的最短距离。只要这个距离严格大于半径，直线就碰不到圆。

The perpendicular distance from $(-2,4)$ to $x+3y-k=0$ is

Since the line misses the circle, this exceeds its radius $\sqrt{32}$. Squaring gives $(10-k)^2>320$, which simplifies to $k^2-20k-220>0$.