(a) 用配方法求方程 $4x^2-4x-1=0$ 的精确解。

(b) 由此解方程 $4\tan\theta=4+\frac{1}{\tan\theta}$，其中 $0^\circ<\theta<180^\circ$。

题目指定配方法。用 $(2x-1)^2$ 吸收二次项和一次项，再处理常数。

We have

Setting this to zero gives $2x-1=\pm\sqrt2$, so the exact roots are $x=\frac{1+\sqrt2}2$ and $x=\frac{1-\sqrt2}2$.

乘以 $\tan\theta$ 后，方程就是 (a) 的二次方程。一个根为正，一个为负，要分别在第一、第二象限找角。

For the original equation, $\tan\theta$ is defined and nonzero. Multiplying by $\tan\theta$ gives

From (a), the tangent values are $\frac{1+\sqrt2}2$ and $\frac{1-\sqrt2}2$. The first gives the first-quadrant angle $\tan^{-1}(\frac{1+\sqrt2}2)\approx50.4^\circ$. The second gives the second-quadrant angle $180^\circ+\tan^{-1}(\frac{1-\sqrt2}2)\approx168.3^\circ$. Both lie in the domain.