题目

Problem

The diagram shows a sector $ABD$ of a circle with centre $A$ and radius $10$ cm. The perpendicular bisector of $AB$ passes through $D$ .

(a) Find the perimeter of the shaded region $BCD$ , giving your answer correct to 1 decimal place.

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(b) Find the area of the shaded region $BCD$ , giving your answer correct to 1 decimal place.

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题目中文翻译

图中显示一个圆心为 $A$ 、半径为 $10$ cm 的扇形 $ABD$ 。 $AB$ 的垂直平分线经过 $D$ 。

(a) 求阴影区域 $BCD$ 的周长，答案精确到 1 位小数。

(b) 求阴影区域 $BCD$ 的面积，答案精确到 1 位小数。

解答

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垂直平分线先确定 $AC=CB=5$ 。利用直角三角形 $ACD$ 求 $CD$ 和圆心角，然后沿阴影边界求周长。

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Since $C$ is the midpoint of $AB$ , $AC=CB=5$ cm. In the right triangle $ACD$ with hypotenuse $AD=10$ ,

CD=\sqrt{10^2-5^2}=5\sqrt3,\qquad \cos\angle CAD=\frac12.

Thus the central angle $BAD$ is $\pi/3$ . The perimeter of the shaded region is the arc $BD$ plus $CD$ and $CB$ :

10\cdot\frac\pi3+5\sqrt3+5\approx24.1\text{ cm}

to one decimal place.

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从整个扇形减去直角三角形 $ACD$ 。用 (a) 的精确边长和角度计算，再四舍五入。

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The area of the shaded region is

\frac12(10)^2\cdot\frac\pi3-\frac12(5)(5\sqrt3) =\frac{50\pi}3-\frac{25\sqrt3}2 \approx30.7\text{ cm}^2

to one decimal place.