在平行四边形 $ABCD$ 中，$A$ 的坐标为 $(3,7)$，$B$ 的坐标为 $(6,p)$，$D$ 的坐标为 $(1,p)$。已知 $AB$ 的梯度为 $-\frac{2}{3}$。

(a) 求 $p$ 的值。

(b) 求 $C$ 的坐标。

(c) 求由 $AB$ 的垂直平分线与 $x$ 轴、$y$ 轴围成的三角形面积。

用 $A$、$B$ 的坐标写出斜率，再令它等于题给值。

The gradient of $AB$ is $(p-7)/(6-3)=-2/3$. It follows that $p-7=-2$ and $p=5$.

平行四边形的两条对角线互相平分。先用 $B,D$ 求对角线中点，再用同一中点和 $A$ 找 $C$。

The midpoint of $BD$ is $\Big(\frac72,5\Big)$. Writing $C=(u,v)$ and equating the midpoint of $AC$ to that point gives $(3+u)/2=7/2$ and $(7+v)/2=5$. Hence $C=(4,3)$.

垂直平分线通过 $AB$ 的中点，斜率是 $AB$ 斜率的负倒数。两个截距的绝对值就是直角三角形的两条直角边。

The midpoint of $AB$ is $(\frac92,6)$ and the perpendicular gradient is $\frac32$. The perpendicular bisector is

Its intercepts are $(\frac12,0)$ and $(0,-\frac34)$. The triangle has area $\frac12\cdot\frac12\cdot\frac34=\frac3{16}$ square units.