一条曲线的方程为 $y=x^3+ax^2+bx+5$。该曲线在 $(1,9)$ 处有一个驻点。

(a) 求常数 $a$ 和 $b$ 的值。

(b) 求另一个驻点的坐标。

(c) 点 $P$ 沿曲线的一部分运动，并且 $P$ 的 $y$ 坐标以每秒 6 个单位的恒定速率增加。

当 $x=5$ 时，求 $P$ 的 $x$ 坐标增加的速率。

驻点给出两条信息：点 $(1,9)$ 在曲线上，且在 $x=1$ 时斜率为零。把它们写成关于 $a,b$ 的联立方程。

The point gives $9=1+a+b+5$, so $a+b=3$. The gradient is $3x^2+2ax+b$, hence $3+2a+b=0$. Subtracting $a+b=3$ from $2a+b=-3$ gives $a=-6$, and then $b=9$.

用 (a) 的系数把一阶导数因式分解。已知一个根是 $1$，另一根给出所求驻点的横坐标。

With $a=-6$ and $b=9$,

The other stationary point is at $x=3$, where $y=27-54+27+5=5$. Its coordinates are $(3,5)$.

把沿曲线的变化率用链式法则联系起来。先算 $x=5$ 处的斜率，再用纵坐标变化率除以该斜率。

At $x=5$, $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=3(5-1)(5-3)=24$. Since

we get $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=6/24=\frac14$ unit per second.