函数 $f$ 和 $g$ 定义如下。

$f(x)=\cos x\quad\text{其中 }0\leq x\leq\pi$

$g(x)=3\cos(x-\pi)+2\quad\text{其中 }\pi\leq x\leq2\pi$

(a) 完整描述将 $y=f(x)$ 的图像变换为 $y=g(x)$ 的组合变换。

(b) 在给定坐标轴上画出 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ 的图像草图。

(c) 求 $g^{-1}f\left(\frac{1}{3}\pi\right)$。

(d) 解释为什么复合函数 $fg$ 不能形成。

$\cos(x-\pi)$ 表示向右平移 $\pi$。外面的系数与常数分别改变纵向比例和高度。

First stretch by scale factor $3$ in the $y$-direction. Then translate by $\begin{pmatrix}\pi\\2\end{pmatrix}$. This sends $(u,\cos u)$ to $(u+\pi,3\cos u+2)$, as required.

如果先平移再伸缩，要把预先增加的高度除以 $3$，因为伸缩也会放大这段竖直位移。

Translate by $\begin{pmatrix}\pi\\2/3\end{pmatrix}$ and then stretch by scale factor $3$ in the $y$-direction. The resulting expression is $3(\cos(x-\pi)+2/3)=3\cos(x-\pi)+2$.

两段都是递减的半个余弦周期。先标出每段的两个端点和中点，再画平滑曲线。

Sketch $f$ through $(0,1)$, $(\pi/2,0)$ and $(\pi,-1)$ on $[0,\pi]$. Sketch $g$ through $(\pi,5)$, $(3\pi/2,2)$ and $(2\pi,-1)$ on $[\pi,2\pi]$. Each curve decreases smoothly and has horizontal tangents at its endpoints.

先求 $f(\pi/3)$。再反解 $g(x)$，角 $x-\pi$ 的范围正好是反余弦的主值区间。

We have $f(\frac\pi3)=\frac12$. On $\pi\le x\le2\pi$, solving $y=3\cos(x-\pi)+2$ gives

Hence

要对 $g$ 的每个输入计算 $f(g(x))$，$g$ 的输出都必须落在 $f$ 的定义域内。

The range of $g$ is $[-1,5]$, which is not contained in the domain $[0,\pi]$ of $f$. For example, $g(2\pi)=-1$ and $f(-1)$ is undefined. Thus $fg$ cannot be formed on the given domain of $g$.