一条曲线满足 $\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=3x^2-6$，点 $P\,(2,3)$ 是曲线上的一个驻点。

(a) 通过计算 $P$ 点处的 $\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}$，确定该驻点的性质。

(b) 求曲线方程。

(c) (i) 求其他驻点的 $x$ 坐标的精确值。如有需要，可使用恒等式

(ii) 确定这些驻点的性质。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

在 $P$ 的横坐标处代入二阶导数，用符号判断驻点类型。

At $x=2$, $y''=3(2)^2-6=6>0$. Thus $P$ is a minimum point.

第一次积分用 $P$ 处斜率为零确定常数。第二次积分再用 $P$ 的高度确定新的常数。

Integrating gives $y'=x^3-6x+C$. At $x=2$, $0=8-12+C$, so $C=4$. A second integration gives

The condition $y(2)=3$ gives $3=4-12+8+D$, so $D=3$. Hence the equation is $y=x^4/4-3x^2+4x+3$.

已知 $x=2$ 是导数的根。题给恒等式可将导数拆成一次因式与二次因式。

Using $k=2$ in the given identity,

The other stationary points satisfy $x^2+2x-2=0$, or $(x+1)^2=3$. Thus their exact coordinates in the $x$-direction are $x=-1-\sqrt3$ and $x=-1+\sqrt3$.

分别算两个横坐标的平方，再代入 $3x^2-6$。注意根号前的符号。

At $x=-1-\sqrt3$, $x^2=4+2\sqrt3$, so $y''=6+6\sqrt3>0$. This is a minimum. At $x=-1+\sqrt3$, $x^2=4-2\sqrt3$, so $y''=6-6\sqrt3<0$. This is a maximum.