图中所示的扇形 $ACD$ 所在圆的圆心为 $C$，半径为 $2r$。$B$ 是 $AC$ 的中点，$BD$ 的长度为 $r\sqrt{7}$。

(a) 求阴影区域周长的精确值，答案用 $\pi$ 和 $r$ 表示。

(b) 求阴影区域面积的精确值，答案用 $\pi$ 和 $r$ 表示。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

用三角形 $BCD$ 的三边及余弦定理求圆心角。阴影的周长包含弧 $AD$、直边 $AB$ 和 $BD$。

Since $B$ is the midpoint of $AC$, we have $CB=AB=r$. Let $\phi=\angle BCD=\angle ACD$. The cosine rule gives

so $\cos\phi=-1/2$ and $\phi=2\pi/3$. The arc length is $(2r)(2\pi/3)=4\pi r/3$. Adding the two straight edges gives the exact perimeter

阴影是整个扇形 $ACD$ 去掉三角形 $BCD$。两个面积都使用 (a) 的圆心角。

The sector area is $\frac12(2r)^2(2\pi/3)=4\pi r^2/3$. The triangle area is $\frac12(r)(2r)\sin(2\pi/3)=\sqrt3r^2/2$. The shaded area is therefore