函数 $\mathrm{f}$ 和 $\mathrm{g}$ 定义为

其中 $a$ 为正常数。

(a) 求 $\mathrm{g}^{-1}(x)$ 的表达式。

(b) 已知 $\mathrm{gf}(-1)+20a^2=0$。

(i) 求 $a$ 的值。

(ii) 求使方程 $\mathrm{gf}(x)=\mathrm{fg}(x)+k$ 没有实数解的常数 $k$ 的取值集合。

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You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

先把 $8a$ 移到左边，再取实立方根。立方函数在全体实数上一一对应。

From $y=x^3-8a$, we obtain $x=\sqrt[3]{y+8a}$. Thus $g^{-1}(x)=\sqrt[3]{x+8a}$ for all real $x$.

先计算 $f(-1)$，再代入 $g$。所得二次方程只保留正的 $a$。

We have $f(-1)=-4$, so $gf(-1)=(-4)^3-8a=-64-8a$. The condition becomes

Since $a>0$, $a=2$.

先算两个复合函数再相减，三次项会抵消。剩下的二次式若永远达不到 $k$，原方程就无解。

With $a=2$, $gf(x)=(x-3)^3-16$ and $fg(x)=x^3-19$. Thus

Its range is $(-\infty,-15/4]$. Therefore $gf(x)-fg(x)=k$ has no real solution exactly when $k>-15/4$.

把复合函数的等式化为二次方程。没有实数解等价于判别式严格小于零。

With $a=2$, the equation is $(x-3)^3-16=x^3-19+k$. Expanding and rearranging gives

The leading coefficient is nonzero, so there are no real roots exactly when

Thus $k>-135/36=-15/4$. Equality is excluded because it would give a repeated real root.