题目

Problem

(a) (i) Find the first three terms, in ascending powers of $x$ , in the expansion of $\big(3-\frac{1}{2}x\big)^4$ .

(2)

(ii) Find the first three terms, in ascending powers of $x$ , in the expansion of $(2+ax)^3$ . Give your answer in terms of the constant $a$ .

(1)

(b) It is now given that the coefficient of $x^2$ in the expansion of $\big(3-\frac{1}{2}x\big)^4(2+ax)^3$ is $-108$ .

Find the value of $a$ .

(4)

题目中文翻译

(a) (i) 求 $\big(3-\frac{1}{2}x\big)^4$ 按 $x$ 升幂展开的前三项。

(2)

(ii) 求 $(2+ax)^3$ 按 $x$ 升幂展开的前三项，答案用常数 $a$ 表示。

(1)

(b) 现已知 $\big(3-\frac{1}{2}x\big)^4(2+ax)^3$ 的展开式中 $x^2$ 的系数为 $-108$ 。

求 $a$ 的值。

(4)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)(i)

解法一

思路

展开

按二项式定理取常数项、一次项和二次项。注意一次项带负号。

答题过程

展开

The first three terms are

\begin{align*} &\,3^4+\binom41 3^3\Big(-\frac x2\Big)\\ &\,+\binom42 3^2\Big(-\frac x2\Big)^2\\ =&\,81-54x+\frac{27}{2}x^2. \end{align*}

(a)(ii)

解法一

思路

展开

从三个因子中分别选零个、一个和两个 $ax$ 。

答题过程

展开

The first three terms are

\begin{align*} &\,2^3+\binom31 2^2ax+\binom32 2(ax)^2\\ =&\,8+12ax+6a^2x^2. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

配对 (a) 中幂次相加为 $2$ 的三组项。系数相加后，所得二次式是一个完全平方。

答题过程

展开

The coefficient of $x^2$ is

\begin{align*} &\,81(6a^2)-54(12a)+\frac{27}{2}(8)\\ =&\,486a^2-648a+108. \end{align*}

Setting it equal to $-108$ gives $486a^2-648a+216=54(3a-2)^2=0$ . Hence $a=2/3$ .

CIE 9709 2026 June Paper 12 Q4

题目

解答

(a)(i)

解法一

思路

答题过程

(a)(ii)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程