题目

Problem

(a) Find the first four terms, in ascending powers of $x$ , in the expansion of $(2+3x)^5$ .

(3)

(b) Hence, find the expansion up to and including the term in $x^3$ of $(1-3x)(2+3x)^5$ .

(2)

(c) Use your answer to 5(b), with a suitable value of $x$ , to find an approximation to $0.97\times2.03^5$ . Write down your answer to $5$ decimal places.

(3)

题目中文翻译

(a) 求 $(2+3x)^5$ 按 $x$ 升幂展开的前四项。

(3)

(b) 由此，求 $(1-3x)(2+3x)^5$ 的展开式，保留至 $x^3$ 项（包括该项）。

(2)

(3)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

选取零个到三个 $3x$ 。每一项的系数是二项式系数乘剩余的 $2$ 的幂。

答题过程

展开

The first four terms are

\begin{align*} &\,2^5+\binom51 2^4(3x)+\binom52 2^3(3x)^2\\ &\,+\binom53 2^2(3x)^3\\ =&\,32+240x+720x^2+1080x^3. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

分别用 $1$ 和 $-3x$ 乘 (a) 的展开式。只保留到三次，二次项恰好相消。

答题过程

展开

Up to degree three, the product is

\begin{align*} &\,32+(240-96)x+(720-720)x^2\\ &\,+(1080-2160)x^3\\ =&\,32+144x-1080x^3. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

选 $x=0.01$ ，两个因式就分别给出 $0.97$ 和 $2.03^5$ 。用 (b) 的截断展开式代入。

答题过程

展开

At $x=0.01$ , $1-3x=0.97$ and $2+3x=2.03$ . Hence

\begin{align*} 0.97\times2.03^5\approx&\,32+144(0.01)-1080(0.01)^3\\ =&\,33.43892 \end{align*}

to five decimal places.

CIE 9709 2026 June Paper 13 Q5

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程