(a) 一个等差数列的首项为 $5730$，公差为 $-23$。

求第一个负数项的值。

(b) 一个等比数列的首项为 $\sin\theta$，第二项为 $\frac{1}{2}\tan\theta$，其中 $0<\theta<\frac{1}{2}\pi$。

(i) 求使该数列收敛的 $\theta$ 的取值集合。

(ii) 已知 $\theta=\frac{1}{6}\pi$，求该数列的无穷和。答案写成 $\frac{p+\sqrt{q}}{r}$ 的形式，其中 $p$、$q$ 和 $r$ 是待求的整数。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

写出通项，并用严格不等式确定最早出现负数的项号。

The $n$th term is $5730-23(n-1)$. It is negative exactly when $n-1>5730/23=249+3/23$. The smallest possible $n-1$ is $250$, so the first negative term is $5730-23(250)=-20$.

用第二项除以第一项求公比。在给定角度范围内公比为正，只需解公比小于 $1$ 的条件。

The common ratio is

For $0<\theta<\pi/2$, this is positive, so convergence requires $r<1$. Equivalently $\cos\theta>1/2$, which gives $0<\theta<\pi/3$.

代入指定角度求首项和公比，再用无穷等比和公式化成题设形式。

For $\theta=\pi/6$, the first term is $1/2$ and the ratio is $1/\sqrt3$. Thus

The integers in the requested form are $p=3$, $q=3$ and $r=4$.