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CIE 9709 2026 June Paper 15 Q7

A Level / CIE / P1

CIE 9709 2026 June Paper 15 Paper · Question 7

题目

Problem

(a) Prove the identity

cos⁡θ1−sin⁡θ−1cos⁡θ≡tan⁡θ.\frac{\cos\theta}{1-\sin\theta}-\frac{1}{\cos\theta}\equiv\tan\theta.
(4)

(b) Hence, solve the equation

2cos⁡θ1−sin⁡θ−2cos⁡θ+3=0\frac{2\cos\theta}{1-\sin\theta}-\frac{2}{\cos\theta}+3=0

for 0∘≤θ≤360∘0^\circ\le\theta\le360^\circ.

(3)
题目中文翻译

(a) 证明恒等式

cos⁡θ1−sin⁡θ−1cos⁡θ≡tan⁡θ.\frac{\cos\theta}{1-\sin\theta}-\frac{1}{\cos\theta}\equiv\tan\theta.
(4)

(b) 由此，在 0∘≤θ≤360∘0^\circ\le\theta\le360^\circ 内解方程

2cos⁡θ1−sin⁡θ−2cos⁡θ+3=0.\frac{2\cos\theta}{1-\sin\theta}-\frac{2}{\cos\theta}+3=0.
(3)
原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

第一项的分子和分母同乘 1+sin⁡θ1+\sin\theta，用平方关系把分母改成 cos⁡2θ\cos^2\theta。

答题过程

展开

On the common domain, cos⁡θ≠0\cos\theta\ne0 and

 cos⁡θ1−sin⁡θ−1cos⁡θ= cos⁡θ(1+sin⁡θ)1−sin⁡2θ−1cos⁡θ= 1+sin⁡θ−1cos⁡θ= tan⁡θ.\begin{align*} &\,\frac{\cos\theta}{1-\sin\theta}-\frac1{\cos\theta}\\ =&\,\frac{\cos\theta(1+\sin\theta)}{1-\sin^2\theta}-\frac1{\cos\theta}\\ =&\,\frac{1+\sin\theta-1}{\cos\theta}\\ =&\,\tan\theta. \end{align*}

解法二

思路

展开

先通分，再用平方关系把分子化成含有 1−sin⁡θ1-\sin\theta 的乘积，从而约去同一因子。

答题过程

展开

On the common domain, cos⁡θ≠0\cos\theta\ne0 and 1−sin⁡θ≠01-\sin\theta\ne0. Thus

 cos⁡θ1−sin⁡θ−1cos⁡θ= cos⁡2θ−(1−sin⁡θ)(1−sin⁡θ)cos⁡θ= 1−sin⁡2θ−1+sin⁡θ(1−sin⁡θ)cos⁡θ= sin⁡θ(1−sin⁡θ)(1−sin⁡θ)cos⁡θ= sin⁡θcos⁡θ=tan⁡θ.\begin{align*} &\,\frac{\cos\theta}{1-\sin\theta}-\frac1{\cos\theta}\\ =&\,\frac{\cos^2\theta-(1-\sin\theta)}{(1-\sin\theta)\cos\theta}\\ =&\,\frac{1-\sin^2\theta-1+\sin\theta}{(1-\sin\theta)\cos\theta}\\ =&\,\frac{\sin\theta(1-\sin\theta)}{(1-\sin\theta)\cos\theta}\\ =&\,\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\tan\theta. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

由 (a) 把方程化成正切方程。正切为负，在第二和第四象限各取一个解。

答题过程

展开

The equation becomes 2tan⁡θ+3=02\tan\theta+3=0. With reference angle arctan⁡(3/2)≈56.31∘\arctan(3/2)\approx56.31^\circ, the solutions in the given interval are 123.7∘123.7^\circ and 303.7∘303.7^\circ.